Нелинейный анализ кирпичных сводчатых конструкций исторических зданий
Сложность в расчете конструкций из кирпичной кладки заключается в учете анизотропных свойств кладки. Данная проблема особо остро ощущается при анализе НДС исторических каменных конструкций при обследовании их технического состояния. В данной статье приводится анализ сводчатого перекрытия особняка, возведенного в первой половине XVIII века. Для численного моделирования кирпичной кладки можно применить билинейную модель материала с изотропным упрочнением. Она является наиболее простой в практическом применении, но в данной модели учитывается только одно предельное сопротивление.
Поэтому для расчета каменных конструкций было предложено использовать нелинейную модель материала Ранкина, которая учитывает различное поведение кладки при растяжении и сжатии, в том числе и разупрочнение. В статье представлены результаты численного моделирования кирпичной кладки с разными моделями материалов. Проведено сравнение и оценка прочности конструкции.
Введение
Развитие методов расчета каменных конструкций на сегодняшний день остается актуальным вопросом во всем мире. Сложность в расчете конструкций из кирпичной кладки заключается в учете ее анизотропных свойств. Прочность кладки различна в зависимости от угла приложения нагрузки к горизонтальным швам [1, 2]. Данная проблема может быть решена с использованием методов математического моделирования [3, 4]. Проблема особо остро ощущается в тех городах, где большое количество кирпичной исторической застройки. Без эффективного инструмента, позволяющего выполнять точный анализ деформированного состояния каменных конструкций в результате внешних воздействий, сложно безопасно развивать и сохранять историческую часть города. В частности, наблюдается сложность развития подземного пространства центральных районов города.
Значительная часть исторической застройки Санкт-Петербурга представляет собой дореволюционные кирпичные здания. До начала XX века кирпич являлся основным строительным материалом для промышленного и гражданского строительства. Кирпичное производство развивалось и совершенствовалось вместе с городом, среднее значение прочности кирпича на сжатие в конце XIX века достигло значения 10,0 МПа. Прочность на сжатие кладочного раствора не отличалась высокими показателями. До второй половины XIX века использовался слабый известковый раствор (прочность на сжатие — от 3,2 до 4,2 МПа). Затем в раствор стали добавлять портландцемент, за счет чего прочность возросла в среднем до 6,0 МПа. Также размеры кирпича различались в зависимости от года производства и завода изготовителя [5].
В исторических зданиях распространенным конструктивным решением перекрытий являются своды. Вплоть до XIX века сводчатые конструкции возводились, как правило, с большим запасом несущей способности по правилам и определенным геометрическим соотношениям, заложенным еще в античности [6].Основные выкладки по аналитическому расчету сводчатых конструкций с рядом допущений даны в работах В.Р. Бернгарда [7] и Н.К. Лахтина [8] в начале XX века.
В последнее время активно ведутся работы по сохранению объектов культурного наследия. Часто наблюдаемыми дефектами сводов, выявляемыми в ходе обследования, являются трещины, деструкция кладки и деградация растворных швов, причиной которых могут быть эксплуатационный износ, перегрузки, динамические воздействия, техногенные и другие факторы [9, 10]. По действующим нормативным документам поверочные расчеты необходимо выполнять с учетом фактической работы конструкции, а также зафиксированных в ходе обследования дефектов и повреждений. Однако в современных отечественных нормах отсутствуют конкретные рекомендации по расчету каменных сводчатых конструкций.
Наиболее опасные зоны элементарной арки свода выявлены многими веками наблюдения, конструирования и расчета сводов [11]. Таким образом, чаще всего слабыми зонами являются пята свода и шелыга со стороны внутренней поверхности, а также средняя зона со стороны внешней поверхности свода. Это соответствует максимальным моментам, возникающим от равномерной нагрузки вышележащих конструкций (рис. 1). Схема расположения трещин, типичных для крестовых сводов, представлена на рис. 2.
Рисунок 1. Эпюра моментов в элементарной арке свода от равномерно распределенных нагрузок
Рисунок 2. Характерное распространение трещин в крестовом своде: а — общий вид конструкции, б — вид сбоку, в — вид сверху [11]
Учитывая сложную криволинейную геометрию сводов, разные его части имеют различные пределы прочности [12]. Также напряженно-деформированное состояние и механизмы разрушения сводов различаются в зависимости от соотношения высоты свода к пролету. В рамках данной статьи рассматриваются высокие цилиндрические своды с криволинейной образующей.
Математический анализ механической работы кладки
Математический анализ НДС существующих каменных конструкций является сложным и актуальным вопросом. Учет анизотропных свойств кладки можно достичь с помощью микромеханического моделирования. Данный способ рассматривает кирпичную кладку как неоднородную структуру (гетерогенная система), состоящую из кирпича, раствора и контактных поверхностей между ними (рис. 3). Но гетерогенное моделирование кладки является трудоемким и практически нереализуемым способом в рамках реального проектирования. Ввиду этого большое внимание уделяется гомогенизации (макромеханическому моделированию) гетерогенной модели [13, 14].
Рисунок 3. Способы моделирования кирпичной кладки: а — детальное микромеханическое (гетерогенное), б — упрощенное микромеханическое, в — макромеханическое (гомогенное)
Также ведется работа над адаптацией существующих нелинейных моделей материалов для расчета конструкций из кирпичной кладки. В программных комплексах на основе МКЭ существуют нелинейные модели материалов, предложенные для расчета бетона, также специальные конечные элементы. В ПК ANSYS для расчета бетона можно использовать модели материалов Мора — Кулона, Друкера — Прагера, Ментери — Вилама, Базант — Гамбарова и Ранкина. Данные модели позволяют задавать разные расчетные сопротивления при растяжении и сжатии. Критерий оценки прочности основан на определении специальной поверхности текучести. Также присутствует возможность учета разупрочнения. Но так как задача нелинейная, то бывает сложно добиться сходимости решения с учетом разупрочнения. Для геометрически сложных конструкций, которыми являются своды, эти модели с учетом разупрочнения практически применить невозможно из-за большого времени расчета и проблем со сходимостью. Подробнее с критериями прочности материалов можно ознакомиться в работе [15].
Каменная кладка является хрупким материалам, где только при длительном нагружении развиваются деформации ползучести. Так как в кирпичной кладке расчетные сопротивления при сжатии и растяжении различаются значительно, то для расчета более рационально применять модели без разупрочнения. В данной работе для расчета кирпичного свода использовалась билинейная модель с изотропным упрочнением (рис. 4а) и пластическая модель Ранкина, которая учитывает различное поведение при растяжении и сжатии (рис. 4б).
Рисунок 4. Диаграммы деформирования: а — билинейная модель с изотропным упрочнением, б — модель Ранкина
Модель Ранкина является изотропно-упругой с одинаковыми механическими свойствами (модуль упругости) при растяжении и сжатии. Но предел текучести и изотропное упрочнение (разупрочнение) в нелинейной зоне могут отличаться при растяжении и сжатии. Напряженное состояние тела характеризуется разными критериями текучести и напряжением в пластической зоне. Для моделирования различных характеристик текучести при растяжении и сжатии используется составная поверхность текучести. Поведение при растяжении зависит от давления, и используется критерий максимального напряжения Ранкина:
где σтр — предел текучести при одноосном растяжении; p — гидростатическое давление (нормальное напряжение); σе — эквивалентное напряжение по фон Мизесу; β — угол наклона, который зависит от инвариантов напряжений.
При сжатии используется критерий текучести фон Мизеса, не зависящий от давления p:
Нелинейный расчет каменных сводчатых конструкций
В рамках данной статьи выполнен анализ сводчатого перекрытия особняка генерала П.П. Дурново, возведенного в первой половине XVIII века. Рассматриваемое перекрытие представляет собой сложную систему сопрягающихся между собой четырех прямоугольных в плане цилиндрических оболочек с криволинейной образующей с распалубками. Анализ НДС выполнен для свода «а» (рис. 6). Стрела подъема составляет 0,97 м, толщина — 0,38 м (1,5 кирпича). По результатам лабораторных испытаний марка кирпича М50 (среднее значение прочности кирпича на сжатие 5,6 МПа), марка кладочного раствора М4 (среднее значение прочности раствора на сжатие 0,44 МПа).
Рисунок 6. План сводов с нанесенными на них трещинами (внутренняя сторона)
Геометрические параметры конструкций помещения были определены с помощью лазерного сканирования. Схема рассматриваемого помещения с размерами представлена на рис. 6, соседние помещения условно не показаны. В ходе обследования были зафиксированы многочисленные трещины в теле сводов, деструкция верхних слоев кладки и деградация растворных швов.
Для расчета свода были использованы две модели, которые учитывают пластические свойства материала: билинейная модель с минимальным изотропным упрочнением (рис. 4а) и модель Ранкина, которая учитывает разные расчетные сопротивления при сжатии и растяжении (рис. 4б). В модели были заданы следующие свойства материала: плотность кирпичной кладки 1800 кг/м3 ; модуль упругости кладки E = 900 МПа; расчетное сопротивление сжатию кладки R = 0,6 МПа; расчетное сопротивление кладки растяжению по перевязанному сечению Rt = 0,02 МПа. Расчет проводился на собственный вес. Масса свода составила 21 100 кг. Общий вид конечно-элементной модели показан на рис. 7.
Рисунок 7. Конечно-элементная модель
Для пластической билинейной модели с изотропным упрочнением в зависимости от назначенных граничных условий максимальный прогиб в центре свода находится в диапазоне Δ =
Рисунок 8. Вертикальные перемещения в своде Δ, м
Рисунок 9. Максимальные главные напряжения, σ1 , Па
Зоны образования трещин были определены по картине распределения максимальных главных растягивающих напряжений. Превышение расчетного сопротивления 0,02 МПа считается началом образования трещины. По полученным результатам возможно спрогнозировать места появления трещин, но нельзя считать результаты корректными, так как не учитывается разупрочнение в зонах образования трещин и дальнейшее их раскрытие. Это приводит к перераспределению напряжений и снижению несущей способности свода. Поэтому более правильно будет применение модели Ранкина.
На рис. 10 представлены картины распределения пластических деформаций для модели Ранкина. Эти зоны соответствуют местам образования трещин. Максимальный прогиб составил Δ = 2,27 мм. Использование данной модели дает возможность более точно оценить деформирование конструкции. Возможные участки образования трещин по результатам расчета качественно совпадают с картографией дефектов.
Рисунок 10. Зоны пластических деформаций
Заключение
Билинейная модель с изотропным упрочнением является наиболее простой моделью материала в практическом применении, но в данной модели учитывается только одно расчетное сопротивление. Каменная кладка характеризуется высокой прочностью на сжатие по отношению к растяжению. Поэтому было предложено использовать модель Ранкина, которая учитывает два разных расчетных сопротивления при сжатии и растяжении, что позволяет более корректно определить распределение напряжений и выделить характерные зоны образования пластических деформаций. По этим зонам можно спрогнозировать зоны образования трещин и их размеры (глубину). Также корректно определить зоны сжатия и растяжения и их толщину.
Данную модель можно применять для расчета исторических сводчатых конструкций, которые требуют особого внимания ввиду своей сложной геометрии и особенности старой кладки. Для сохранения объектов культурного наследия из кирпичной кладки необходимо совершенствовать методики расчета каменных строительных конструкций. Требуется дальнейшее изучение и развитие нелинейных методов расчета каменных конструкций. В свою очередь, это способствуют решению проблемы сохранения памятников истории и архитектуры и развитию исторической части города. Авторы продолжают работу в этом направлении, в том числе проводятся экспериментальные исследования для более точного моделирования каменных конструкций.
Благодарности
Авторы выражают благодарность ООО «Строй-Эксперт» за оказанную помощь при написании настоящей статьи.